XLkxc

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Description

给定 k,a,n,d,p
　　f(i)=1^k+2^k+3^k+…+i^k
　　g(x)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(x)
　　求(g(a)+g(a+d)+g(a+2d)+…+g(a+nd))mod p

Input

第一行数据组数，(保证小于6)
　　以下每行四个整数 k,a,n,d

Output

每行一个结果。

Sample Input

5
　1 1 1 1
　1 1 1 1
　1 1 1 1
　1 1 1 1
　1 1 1 1

Sample Output

5
　5
　5
　5
　5

HINT

1<=k<=123
　　0<=a,n,d<=123456789
　　p==1234567891

Main idea

给定k,a,n,d，求img

Solution

我们可以令img

然后推一波式子，再令img

那么显然有img

然后我们通过若干次差分，发现g在差分k+3次时全为0，那么g就是一个k+2次多项式；f在差分k+5次时全为0，那么f就是一个k+4次多项式。

我们通过拉格朗日插值法插g，得到k+5个f的值，然后再插值f就可以得到答案了。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long s64;
const int ONE=1001;
const s64 MOD=1234567891;

int T;
int k,a,n,d;
int g[ONE],f[ONE];
int inv[ONE],U[ONE],Jc[ONE];
int pre[ONE],suc[ONE];

int get()
{
    int res=1,Q=1;  char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
    if(Q) res=c-48;
    while((c=getchar())>=48 && c<=57)
        res=res*10+c-48;
    return res*Q;
}

int Quickpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(s64)res*a%MOD;
        a=(s64)a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int P(int k,int i)
{
    if((k-i)&1) return -1+MOD;
    return 1;
}

namespace First
{
    void Deal_jc(int k)
    {
        Jc[0]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++) Jc[i]=(s64)Jc[i-1]*i%MOD;
    }

    void Deal_inv(int k)
    {
        inv[0]=1;    inv[k]=Quickpow(Jc[k],MOD-2);
        for(int i=k-1;i>=1;i--) inv[i]=(s64)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
    }
}

int Final(int f[],int n,int k)
{
    pre[0]=1;    for(int i=1;i<=k;i++) pre[i]=(s64)pre[i-1] * (n-i+MOD) % MOD;
    suc[0]=1;    for(int i=1;i<=k;i++) suc[i]=(s64)suc[i-1] * (s64)(n-k+i-1+MOD) % MOD;

    s64 Ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int Up=   (s64) pre[i-1]*suc[k-i] % MOD * f[i] % MOD;
        int Down= (s64) inv[i-1]*inv[k-i] % MOD;

        Ans=(s64)(Ans + (s64) Up*Down % MOD * P (k,i) %MOD) % MOD;
    }

    return Ans;
}

int main()
{
    First::Deal_jc(150);    First::Deal_inv(150);
    T=get();
    while(T--)
    {
        k=get();    a=get();    n=get();    d=get();

        for(int i=0;i<=k+3;i++) g[i]=Quickpow(i,k);
        for(int i=1;i<=k+3;i++) g[i]=((s64)g[i-1]+g[i])%MOD;
        for(int i=1;i<=k+3;i++) g[i]=((s64)g[i-1]+g[i])%MOD;
        for(int i=0;i<=k+5;i++)
            f[i]=((s64)f[i-1]+Final(g,(a+(s64)i*d)%MOD,k+3)) % MOD;

        printf("%d\n",Final(f,n,k+5)%MOD);
    }
}